Đôi chân nhanh như gió lại không đuổi kịp được chú rùa?

   Nhà triết học cổ Hy Lạp Zenon (490 – 430 trước công nguyên) đã đưa ra bài toán “Asin đuổi theo rùa” khá lý thú như sau:

   Asin là một vị thần trong thần thoại Hy Lạp, thần chạy rất nhanh và được mệnh danh là có đôi chân chạy nhanh như gió. So với rùa thì tốc độ của Asin nhanh gấp 100 lần tốc độ của rùa. Nếu để rùa chạy được 100 Km rồi Asin mới đuổi theo thì vĩnh viễn Asin sẽ không đuổi kịp được rùa. Nhà triết học nêu lý do sau đây:

   Với điều kiện đã nêu ở đầu bài thì khi Asin chạy được 100 km thì rùa chạy thêm được 1 km, khi Asin chạy tiếp được 1/100 km thì rùa lại chạy tiếp được 1/(100.100) km nữa…

   Và cứ như thế khi Asin chạy tiếp được một đoạn đường nữa thì rùa lại chạy tiếp được 1/100 đoạn đường đó; như vậy có thể nói: giữa Asin và rùa luôn luôn có một khoảng cách. Cứ như vậy thì Asin sẽ vĩnh viễn không đuổi kịp được rùa.

Đó hiển nhiên là một kiểu “nguỵ biện” (kết luận trái với sự thực). Thế thì sai lầm ở đâu? Sai lầm là ở chỗ: nhà triết học đã đem đoạn đường mà Asin chạy được chia nhỏ từng đoạn đến vô hạn và cứ như thế cắt nhỏ mãi đến một số vô hạn các quảng đường và cứ thế lý luận nếu số đoạn đường vô hạn thì thời gian cũng sẽ dài vô hạn. Sự thực thì số đoạn đường tuy gọi là vô hạn nhưng thực tế là hữu hạn, và đó cái gọi là thời gian vô hạn cũng sẽ hữu hạn.

   Ta hãy phân tích theo quan điểm thời gian:

   Giả sử trong 1giờ Asin chạy được 100 km, nên chạy trong đoạn đường đầu Asin chỉ cần đúng 1giờ;

   Để chạy đoạn đường thứ 2 (1 km) thì Asin chỉ cần thời gian là 1/100 giờ;

   Để chạy đoạn đường thứ 3 (1/100 km) Asin chỉ cần (1/100)² giờ

   …

   Cứ như vậy, Asin muốn đuổi kịp rùa thì phải chạy thời gian tổng cộng là:

           1 + 1/100 + 1/100² + … = (1 + 1/99) giờ

   (Ứng dụng công thức tính tổng hữu hạn của cấp số nhân vô hạn)