Có phải chữ số cũng "thoát y vũ"

   Trong nhảy múa thường có tiết mục thoát y vũ, trong quá trình múa người múa cởi bỏ mấy lớp áo ngoài. Những người biểu diễn thời trang cũng thường bỏ lớp áo ngoài để lộ lớp quần áo muốn biểu diễn ở bên trong.

   Chúng ta nói về chữ số “thoát y vũ” là nói về tổ hợp các số có nhiều chữ số, khi tước bỏ từng vị trí thì sẽ biến hoá ra sao? Mời các bạn hãy xem các tổ hợp 3 số dưới đây, mỗi số có 6 chữ số. Chia các tổ hợp thành 2 nhóm, tổng của các số trong từng nhóm bằng nhau. Tức ví dụ

          123789 + 561945 + 642864 = 242868 + 323787 + 761943

   Tính chất vừa nêu không có gì là lạ, có nhiều tổ hợp số cũng có tính chất đó. Nhưng nếu chú ý thì sẽ thấy các tổng bình phương của các số trong nhóm này bằng tổng bình phương các số trong nhóm kia:

           123789² + 561945² + 642864² = 242868² + 323787² + 761943²

   Nếu không tin bạn thử tính thì sẽ thấy là nghiệm đúng như vậy, và bạn sẽ không thể không thốt lên: “Thật là thần diệu”. Nhưng đừng tán thưởng vội, đó mới chỉ là khúc dạo đầu, cất bỏ dần từng lớp áo khi biêu diễn thời trang bạn sẽ thấy nhiều vẻ đẹp hơn nữa. Bây giờ bạn hãy tước bỏ tất cả các chữ số ở đầu các con số, bạn sẽ thấy điều thần diệu của các con số có 5 chữ số vừa hình thành:

            23789 + 61945 + 42864 = 42868 + 23787 + 61943

            23789² + 61945² + 42864² = 42868² + 23787² + 61943²

   Quả là kỳ lạ! Bạn lại tước bỏ các chữ số ở đầu các con số vừa mới hình thành, bạn sẽ có một bộ số mới, mỗi số có 4 chữ số. Qua tính toán bạn sẽ thấy:

            3789 + 1945 + 2864 = 2868 + 3787 + 1943

            3789² + 1945² + 2864² = 2868² + 3787² + 1943²

   Bây giờ chúng ta lại tiếp tục công việc đang dở dang, lại tiếp tục bỏ các chữ số đầu ở mỗi con số, rồi tính toán lần lượt ta lại có các đẳng thức kỳ diệu sau:

             789 + 945 + 864 = 868 + 787 + 943

             789² + 945² + 864² = 868² + 787² + 943²

              …………………………

   Cuối cùng ta có:

              9 + 5 + 4 = 8 + 7 + 3

              9² + 5² + 4² = 8² + 7² + 3²

   Bây giờ ta lại làm việc ngược lại là tước bỏ lần lượt các chữ số cuối của mỗi con số trong 2 nhóm ban đầu, ta lại cũng thu được các điều kỳ diệu khác. Ví dụ:

              12378 + 56194 + 64286 = 24286 + 32378 + 76194

              12378² + 56194² + 64286² = 24286² + 32378² + 76194²

               ………………………….

   Cuối cùng ta cũng có:

               1 + 5 + 6 = 2 + 3 +7

                1² + 5² + 6² = 2² + 3² +7²

   Bạn xem có kỳ lạ không?

Vậy bí mật của chữ số “thoát y vũ” là chỗ nào?

   Đa phần các tính chất kỳ lạ trong toán học đều có quy luật của nó. Từ vấn đề nêu trên ta được hai loại đẳng thức

          9 + 5 + 4 = 8 + 7 + 3                          (1)

          9² + 5² + 4² = 8² + 7² + 3²

và

          1 + 5 + 6 = 2 + 3 +7

          1² + 5² + 6² = 2² + 3² +7²

   Vấn đề đặt ra bây giờ là: liệu có các loại đẳng thức và các tổ hợp số khác có tính chất như vậy được không? Từ đẳng thức (1), đặt a = 9, b = 5, c=4 thì 3 số ở vế phải sẽ là

          8 = c + 4        7 = a – 2       3 = b – 2

          a + b + c = (c + 4) + (a – 2) + (b – 2)

Sau khi giải ta có:

          a + b = 2c + 6

Lại giải bằng phương pháp khác ta lại có hệ thức:

          a + b = 2c +3

Như vậy chỉ cần a, b, c thoả mãn điều kiện a + b = 2c +6 hoặc a + b = 2c + 3 thì a, b, c sẽ tạo đựơc màn kịch đẳng thức như trên.

Từ các hệ thức như trên ta có thể tìm được 4 tổ hợp số:

  1 -     1 + 5 + 6 = 2 + 3 +7

           1² + 5² + 6² = 2² + 3² +7²

  2 -     2 + 6 + 7 = 3 + 4 + 8

           2² + 6² + 7² = 3² + 4² + 8²

  3 -     9 + 5 + 4 = 8 + 7 + 3               

           9² + 5² + 4² = 8² + 7² + 3²

  4 -     1 + 6 + 8 = 2 + 4 + 9

           1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9²

   Bốn tổ hợp này sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn sẽ là (1) 1, 2, 3, 5, 6, 7;  (2) 2, 3, 4, 6, 7, 8;  (3) 3, 4, 5, 7, 8, 9;  (4) 1, 2, 4, 6, 8, 9.

   Thế với các con số có nhiều chữ số thì sẽ ra sao? Nếu đặt các chữ số ở các vị trí cao hơn là x, y, z ta có:

          (10x + 9)² + (10y + 5)² + (10z + 4)² = (10z + 8)² + (10x + 7)² + (10y + 3)²

   Giải phương trình này ta sẽ đựơc phương trình bất định: x + y = 2z. Nếu quy ước các chữ số chưa biết lấy các giá trị từ 1 đến 9 và mỗi chữ số chỉ xuất hiện một lần ta sẽ có 16 tổ hợp đưới đây

(1, 3, 2); (1, 5, 3); (1, 7, 4); (1, 9, 5); (2, 4, 3); (2, 6, 4); (2, 8, 5); (3, 5, 4); (3, 7, 5); (3, 9, 6); (4, 6, 5); (4, 8, 6); (5, 7, 6); (6, 9, 7); (6, 8, 7); (7, 9, 8).

   Nếu giao hoán 2 chữ số đầu của mỗi tổ hợp trên ta lại có 16 tổ hợp khác kiểu (3, 1, 2); … ; (9, 7, 8).

   Biết được quy luật này, bạn có thể tự mình bầy ra được màn kịch đẳng thức. Chúng ta thử xem như sau: nếu chọn chữ số đầu là 9, 5, 4 và 8, 7, 3; chữ số cuối chọn là: 1, 5, 6 và 2, 3, 7  thì các chữ số ở hàng vạn, hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục được chọn như sau:

    (1, 3, 2); (2, 4, 3); (3, 7, 5); (5, 6, 7) sẽ tổ hợp thành đẳng thức dưới đây:

          912351² + 534775² + 423566² = 823562² + 712353² + 334777²

   Bạn tính toán sẽ thấy đặc điểm “ve vàng lột vỏ”. Nắm được quy luật vừa trình bày trên bạn có thể tự sắp xếp các tổ hợp số “thoát y vũ”. Chúc các vạn tìm được thêm nhiều tính chất lý thú như trên!!!